我們先用賭場打個比方～

賭場老闆拿了二個一樣只是顏色不同的盒子擺在你眼前，分別是紅盒子、綠盒子，其中一個盒子有 50 個 1000元 籌碼，50 個 10元 籌碼，另外一個有 80 個 1000元 籌碼， 20 個 10元 籌碼，但你不知道哪一個盒子 1000元 籌碼比較多。

賭場老闆只告訴你：「只能選一個帶走」。

直接猜

直接猜選一個盒子帶走，你選中 1000元 籌碼多的盒子機率是多少呢？其實很簡單，就是 50%。

面對眼前的機會，我們不做任何測試、調查、驗證，那我們命中的機率就是二分之一。

若機會有 10個盒子 的話，那就是十分之一的猜中率，若你打開盒子需要花費一年的話，那你合理的期待是五年才可能找到對的盒子，若運氣差一點的話，那搞不好要花十年。

時間，真的太寶貴了，我們有多少個 10年 可以浪費呢？

一次驗證的機會

賭場老闆跟你說，這兩個盒子旁邊有一個小洞，你可以搖一搖，搖出一個籌碼出來，看看是 1000元 的？還是 100元 的？

但這樣的動作，賭場老闆要你拿出 1千元 出來。

所以這是個機率問題，我花 1千元，多幫我賺回來的錢，會超過 1千元嗎？

我們假設盒子 A 是 1000元 籌碼較多的（80個1000元），盒子 B 是1000元 籌碼較少的（50個1000元）。

• 盒子 A 搖出 1000元 籌碼的機率 = 80/100 = 80%
• 盒子 B 搖出 1000元 籌碼的機率 = 50/100 = 50%

如果你搖出的是 1000元 籌碼，則你可以合理地假設你更有可能選到盒子 A。這會使你的決策更接近於選擇 1000元 籌碼較多的盒子。

但這裡的關鍵問題是：這次測試是否能夠幫助你做出更好的決策，並且其結果是否足以彌補測試的成本（1千元）？

若測試這個動作，讓你從50%的猜測機率提升到較高的機率（比如70%），這樣就會增加你選擇到正確盒子的預期收益。

從數學上來說，測試後的決策改善如果能夠帶來的收益超過 1千元 ，那麼測試就是值得的。

怎麼決策？假設我搖到 1000元籌碼的話

如果你不做任何測試，直接隨機選一個盒子，那你有一半的機會選到盒子A，一半的機會選到盒子B。

• 選到盒子A（50個1000元籌碼）：你可以得到約50,500元
• 選到盒子B（80個1000元籌碼）：你可以得到約80,200元

所以，你的平均獲利是：(50,500元 + 80,200元) ÷ 2 = 65,350元

若賭場老闆允許你花 1千元，從一個盒子的小洞裡抽出一個籌碼，看看是1000元還是10元。你可以簡單算一下。

• 如果盒子是A：抽到 1000元 的機率是 50/100 = 50%
• 如果盒子是B：抽到 1000元 的機率是 80/100 = 80%。

抽盒子和抽籌碼，這是兩個獨立事件 我們要計算他們同時發生的機率，我們可以將兩個機率相乘：

• 情況一：抽到盒子A又抽到 1000元 機率是 50% * 50% = 25%
• 情況二：抽到盒子B又抽到 1000元 機率是 50% * 80% = 40%

因此，抽到 1000元 籌碼的總機率，是這兩種情況的機率相加：25% + 40% = 65%

為什麼是機率相加呢？因為這兩種情況彼此獨立且互斥，也就是說，當一種情況發生時，另一種情況就不會發生。所以，總機率是將這兩種情況的機率相加。

怎麼計算期望值呢？因為我們考慮抽到 1000元 籌碼的情況，情況一和情況二的機率占總機率的比例，分別代表盒子是 A 或 B 的可能性。

• 盒子是 A 的機率：25% ÷ 65% = 38.5%，期望值是 38.5% * 50,500元 = 19,442.5元
• 盒子是 B 的機率：40% ÷ 65% = 61.5%，期望值是 61.5% * 80,200元 = 49,343元

合計期望值是 19,442.5元 + 49,343元 = 68,785.5元

這和不測試之前的期望值65,350元，價差有1千元以上，所以值得投入。

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