我們先用賭場打個比方~
賭場老闆拿了二個一樣只是顏色不同的盒子擺在你眼前,分別是紅盒子、綠盒子,其中一個盒子有 50 個 1000元 籌碼,50 個 10元 籌碼,另外一個有 80 個 1000元 籌碼, 20 個 10元 籌碼,但你不知道哪一個盒子 1000元 籌碼比較多。
賭場老闆只告訴你:「只能選一個帶走」。
直接猜
直接猜選一個盒子帶走,你選中 1000元 籌碼多的盒子機率是多少呢?其實很簡單,就是 50%。
面對眼前的機會,我們不做任何測試、調查、驗證,那我們命中的機率就是二分之一。
若機會有 10個盒子 的話,那就是十分之一的猜中率,若你打開盒子需要花費一年的話,那你合理的期待是五年才可能找到對的盒子,若運氣差一點的話,那搞不好要花十年。
時間,真的太寶貴了,我們有多少個 10年 可以浪費呢?
一次驗證的機會
賭場老闆跟你說,這兩個盒子旁邊有一個小洞,你可以搖一搖,搖出一個籌碼出來,看看是 1000元 的?還是 100元 的?
但這樣的動作,賭場老闆要你拿出 1千元 出來。
所以這是個機率問題,我花 1千元,多幫我賺回來的錢,會超過 1千元嗎?
我們假設盒子 A 是 1000元 籌碼較多的(80個1000元),盒子 B 是1000元 籌碼較少的(50個1000元)。
- 盒子 A 搖出 1000元 籌碼的機率 = 80/100 = 80%
- 盒子 B 搖出 1000元 籌碼的機率 = 50/100 = 50%
如果你搖出的是 1000元 籌碼,則你可以合理地假設你更有可能選到盒子 A。這會使你的決策更接近於選擇 1000元 籌碼較多的盒子。
但這裡的關鍵問題是:這次測試是否能夠幫助你做出更好的決策,並且其結果是否足以彌補測試的成本(1千元)?
若測試這個動作,讓你從50%的猜測機率提升到較高的機率(比如70%),這樣就會增加你選擇到正確盒子的預期收益。
從數學上來說,測試後的決策改善如果能夠帶來的收益超過 1千元 ,那麼測試就是值得的。
怎麼決策?假設我搖到 1000元籌碼的話
如果你不做任何測試,直接隨機選一個盒子,那你有一半的機會選到盒子A,一半的機會選到盒子B。
- 選到盒子A(50個1000元籌碼):你可以得到約50,500元
- 選到盒子B(80個1000元籌碼):你可以得到約80,200元
所以,你的平均獲利是:(50,500元 + 80,200元) ÷ 2 = 65,350元
若賭場老闆允許你花 1千元,從一個盒子的小洞裡抽出一個籌碼,看看是1000元還是10元。你可以簡單算一下。
- 如果盒子是A:抽到 1000元 的機率是 50/100 = 50%
- 如果盒子是B:抽到 1000元 的機率是 80/100 = 80%。
抽盒子和抽籌碼,這是兩個獨立事件 我們要計算他們同時發生的機率,我們可以將兩個機率相乘:
- 情況一:抽到盒子A又抽到 1000元 機率是 50% * 50% = 25%
- 情況二:抽到盒子B又抽到 1000元 機率是 50% * 80% = 40%
因此,抽到 1000元 籌碼的總機率,是這兩種情況的機率相加:25% + 40% = 65%
為什麼是機率相加呢?因為這兩種情況彼此獨立且互斥,也就是說,當一種情況發生時,另一種情況就不會發生。所以,總機率是將這兩種情況的機率相加。
怎麼計算期望值呢?因為我們考慮抽到 1000元 籌碼的情況,情況一和情況二的機率占總機率的比例,分別代表盒子是 A 或 B 的可能性。
- 盒子是 A 的機率:25% ÷ 65% = 38.5%,期望值是 38.5% * 50,500元 = 19,442.5元
- 盒子是 B 的機率:40% ÷ 65% = 61.5%,期望值是 61.5% * 80,200元 = 49,343元
合計期望值是 19,442.5元 + 49,343元 = 68,785.5元
這和不測試之前的期望值65,350元,價差有1千元以上,所以值得投入。
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